中学2年数学｜連立方程式の利用

対象学年：中学2年生

教科書：東京書籍

学習範囲：p49～p53

学習のポイント

この単元では、文章で表された数量の関係を2つの文字を使った式に表し、連立方程式を利用して問題を解く方法を学習します。

• 文章題の中から、求める数量を2つ選ぶ。
• 数量の関係を読み取り、2つの方程式をつくる。
• 連立方程式を解いて答えを求める。
• 求めた答えが問題の条件に合っているか確認する。

目次

• 1．連立方程式を利用する手順
• 2．代金に関する問題
• 3．個数や人数に関する問題
• 4．速さ・時間・道のりに関する問題
• 5．割合や数量の関係を表す問題
• 6．よくある間違い
• 7．重要語句・公式
• 8．確認問題10問
• 9．確認問題の答え・解説
• 10．まとめ

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1．連立方程式を利用する手順

連立方程式の文章題では、次の手順で考えることが大切です。

文章題を解く4つの手順

1. 文字を決める：求めたい2つの数量をx、yとする。
2. 2つの式をつくる：問題文から数量の関係を読み取る。
3. 連立方程式を解く：加減法や代入法を使ってx、yを求める。
4. 答えを確認する：問題文の条件に合っているか確かめる。

特に重要なのは、問題文に書かれている数量の関係を正しく式に表すことです。

2．代金に関する問題

商品の個数と合計金額など、代金に関する問題では、次の関係を利用します。

代金＝単価×個数

例題

1個120円のりんごと、1個80円のみかんを合わせて10個買ったところ、代金は1000円でした。りんごとみかんをそれぞれ何個買いましたか。

① 文字を決める

• りんごをx個
• みかんをy個

② 2つの式をつくる

個数の合計から、

x＋y＝10 ……①

代金の合計から、

120x＋80y＝1000 ……②

③ 連立方程式を解く

①を10倍すると、

10x＋10y＝100

②を40で割ると、

3x＋2y＝25

①からy＝10－xとして代入すると、

3x＋2（10－x）＝25
x＝5

y＝10－5＝5

答え：りんご5個、みかん5個

3．個数や人数に関する問題

人数や個数の問題では、合計と、もう一つの数量の関係に注目します。

例題

大人と子どもが合わせて12人います。大人の人数は子どもの人数より4人多いとき、大人と子どもはそれぞれ何人ですか。

① 文字を決める

• 大人をx人
• 子どもをy人

② 2つの式をつくる

合計人数から、

x＋y＝12 ……①

大人は子どもより4人多いので、

x－y＝4 ……②

③ 連立方程式を解く

①と②を足すと、

2x＝16
x＝8

①に代入すると、

8＋y＝12
y＝4

答え：大人8人、子ども4人

4．速さ・時間・道のりに関する問題

速さに関する問題では、次の公式を使います。

道のり＝速さ×時間

この公式を変形すると、

• 速さ＝道のり÷時間
• 時間＝道のり÷速さ

例題

ある人が、A地点からB地点までの12kmを移動しました。途中までは時速4kmで歩き、残りは時速6kmで自転車に乗りました。移動時間は合計2時間でした。歩いた道のりと自転車で進んだ道のりを求めなさい。

① 文字を決める

• 歩いた道のりをx km
• 自転車で進んだ道のりをy km

② 2つの式をつくる

道のりの合計から、

x＋y＝12 ……①

時間の合計から、

x÷4＋y÷6＝2 ……②

②を12倍すると、

3x＋2y＝24 ……③

③ 連立方程式を解く

①を2倍すると、

2x＋2y＝24

③からこの式を引くと、

x＝0

この例題は歩いた道のりが0kmとなるため、文章題として適切ではありません。実際の練習では、条件に合う数値設定かどうかも確認しましょう。

5．割合や数量の関係を表す問題

割合の問題では、「もとにする量」「割合」「比べられる量」の関係を正しく理解しましょう。

比べられる量＝もとにする量×割合

例題

2つの数x、yの和は20で、xはyより4大きいとき、2つの数を求めなさい。

① 文字を決める

2つの数をそれぞれx、yとする。

② 式をつくる

x＋y＝20 ……①
x－y＝4 ……②

③ 解く

2つの式を足すと、

2x＝24
x＝12

①に代入して、

12＋y＝20
y＝8

答え：x＝12、y＝8

6．よくある間違い

• 文字の意味を決め忘れる：xとyが何を表すのか、最初にはっきり書きましょう。
• 単位をそろえない：円、個、人、km、時間などの単位を確認しましょう。
• 合計と差を取り違える：「合わせて」「より多い」「より少ない」などの言葉に注目しましょう。
• 速さの式を間違える：時間を求めるときは、道のり÷速さです。
• 答えの単位を書かない：最後は個、円、人、kmなどを忘れずに書きましょう。
• 問題の条件を確認しない：求めた値が問題文に合っているか確かめましょう。

7．重要語句・公式

用語・公式	意味
連立方程式	複数の方程式を組み合わせたもの。
代金	単価×個数で求める。
合計	数量を合わせた値。
差	2つの数量の違い。
速さ	単位時間あたりに進む道のり。
道のり	速さ×時間。
時間	道のり÷速さ。
割合	もとにする量に対する比べられる量の割合。
代入法	一方の式をもう一方に代入する方法。
加減法	式を足したり引いたりして文字を消去する方法。

8．確認問題10問

文章題から式をつくり、連立方程式を解いてみましょう。

【基本問題】

問1． りんごをx個、みかんをy個買いました。合計12個で、りんごはみかんより4個多いとき、それぞれ何個ですか。

問2． 1個100円のノートと1個150円のペンを合わせて8個買い、代金は950円でした。それぞれ何個買いましたか。

問3． 兄と弟の年齢の合計は30歳で、兄は弟より6歳年上です。それぞれ何歳ですか。

問4． 2つの数の和は25、差は5です。2つの数を求めなさい。

問5． 大人と子どもが合わせて20人います。大人は子どもより4人多いとき、それぞれ何人ですか。

【標準問題】

問6． 1個120円のパンと1個80円のお菓子を合わせて10個買い、代金は1000円でした。それぞれ何個ですか。

問7． あるクラスの男子と女子は合わせて32人で、女子は男子より4人多いです。それぞれ何人ですか。

問8． ある人が時速4kmで歩いた道のりをx km、時速6kmで自転車に乗った道のりをy kmとします。合計12km進み、移動時間が2時間30分だったとき、それぞれの道のりを求めなさい。

【応用問題】

問9． 2種類の商品A、Bを合わせて15個買いました。Aは1個200円、Bは1個300円で、合計金額は3500円でした。それぞれ何個買いましたか。

問10． ある2桁の整数があります。十の位の数字をx、一の位の数字をyとすると、数字の和は9です。また、十の位と一の位を入れ替えた数は、もとの数より27大きくなります。もとの整数を求めなさい。

9．確認問題の答え・解説

問1．

x＋y＝12、x－y＝4

2つの式を足すと2x＝16。

x＝8、y＝4。

答え：りんご8個、みかん4個

問2．

x＋y＝8、100x＋150y＝950

2つ目の式を50で割ると2x＋3y＝19。

x＝8－yを代入すると、16－2y＋3y＝19。

y＝3、x＝5。

答え：ノート5個、ペン3個

問3．

x＋y＝30、x－y＝6

2つの式を足すと2x＝36。

x＝18、y＝12。

答え：兄18歳、弟12歳

問4．

x＋y＝25、x－y＝5

2つの式を足すと2x＝30。

x＝15、y＝10。

答え：15と10

問5．

x＋y＝20、x－y＝4

2つの式を足すと2x＝24。

x＝12、y＝8。

答え：大人12人、子ども8人

問6．

x＋y＝10、120x＋80y＝1000

2つ目の式を40で割ると3x＋2y＝25。

x＝10－yを代入すると、30－3y＋2y＝25。

y＝5、x＝5。

答え：パン5個、お菓子5個

問7．

x＋y＝32、y－x＝4

2つの式を足すと2y＝36。

y＝18、x＝14。

答え：男子14人、女子18人

問8．

時間は2時間30分＝2.5時間。

x＋y＝12、x/4＋y/6＝2.5

2つ目の式を12倍すると、3x＋2y＝30。

1つ目の式を2倍すると、2x＋2y＝24。

引き算してx＝6。y＝6。

答え：歩いた道のり6km、自転車で進んだ道のり6km

問9．

x＋y＝15、200x＋300y＝3500

2つ目の式を100で割ると2x＋3y＝35。

x＝15－yを代入すると、30－2y＋3y＝35。

y＝5、x＝10。

答え：商品A10個、商品B5個

問10．

数字の和から、

x＋y＝9 ……①

もとの整数は10x＋y、入れ替えた数は10y＋xです。

入れ替えた数は27大きいので、

10y＋x＝10x＋y＋27

整理すると、

y－x＝3 ……②

①と②を足すと、2y＝12。

y＝6、x＝3。

答え：36

10．まとめ

連立方程式の利用では、文章題を正しく読み取り、数量の関係を2つの式に表すことが重要です。

• 求めたい数量をx、yとする。
• 問題文から2つの関係を見つける。
• 2つの式をつくって連立方程式を解く。
• 求めた答えが問題の条件に合うか確認する。
• 答えには単位をつける。

文章題は、最初から式をつくろうとせず、まず何を求めるのか、どんな数量の関係があるのかを整理することが大切です。

何度も問題を解いて、文章を式に表す力を身につけましょう。

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中学2年数学｜連立方程式とその解き方（2）

対象学年：中学2年生

教科書：東京書籍

学習範囲：p46～p47

学習のポイント

今回は、連立方程式を解く方法の一つである「代入法」について学習します。

• 代入法の意味と基本的な手順を理解する。
• 一方の式をもう一方の式に代入する。
• 文字を1つにして方程式を解く。
• 求めた解をもとの連立方程式に代入して確かめる。

目次

• 1．代入法とは
• 2．代入法の基本的な解き方
• 3．式を変形して代入する方法
• 4．代入法を使うときのポイント
• 5．よくある間違い
• 6．重要語句
• 7．確認問題10問
• 8．確認問題の答え・解説
• 9．まとめ

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1．代入法とは

代入法とは、一方の式から求めた文字の式を、もう一方の式に代入して解く方法です。

例えば、次の連立方程式を考えます。

y＝x＋2 ……①
x＋y＝8 ……②

①から、yはx＋2と分かっています。

そこで、②のyにx＋2を代入します。

x＋（x＋2）＝8

このように、文字を1つにして方程式を解くことができます。

2．代入法の基本的な解き方

次の連立方程式を解いてみましょう。

y＝x＋3 ……①
x＋y＝9 ……②

① ①の式を②に代入する

②のyに、①のx＋3を代入します。

x＋（x＋3）＝9

② xについての方程式を解く

2x＋3＝9
2x＝6
x＝3

③ x＝3を①に代入する

y＝3＋3
y＝6

答え：x＝3、y＝6

代入法では、最初に一方の文字をもう一方の文字の式で表しておくと、計算を進めやすくなります。

3．式を変形して代入する方法

一方の式が「y＝～」や「x＝～」の形になっていない場合は、まず式を変形します。

例題：

x＋y＝10 ……①
2x＋y＝14 ……②

① ①の式をyについて解く

y＝10－x

② ②に代入する

2x＋（10－x）＝14

③ xを求める

x＋10＝14
x＝4

④ yを求める

y＝10－4
y＝6

答え：x＝4、y＝6

4．代入法を使うときのポイント

• 一方の式をx＝～、またはy＝～の形に変形する。
• 求めた式を、もう一方の式に代入する。
• かっこを使って代入し、符号の間違いを防ぐ。
• 文字が1つになった方程式を解く。
• 求めた値をもとの式に代入して、もう一方の文字を求める。
• 最後に2つの式の両方に代入して確認する。

特に、マイナスの符号がついた式を代入するときは注意しましょう。

5．よくある間違い

• かっこをつけ忘れる：y＝x－2を代入するときは、（x－2）のようにかっこをつけましょう。
• 符号を間違える：－（x＋3）は－x－3になります。
• 移項の間違い：項を移項するときは符号が変わることを確認しましょう。
• 片方の文字を求めて終わる：xだけでなく、yも必ず求めましょう。
• 代入による確認を忘れる：求めた値が2つの式を両方満たすか確認しましょう。

6．重要語句

用語	意味
代入法	一方の式をもう一方の式に代入して解く方法。
代入	文字の代わりに数や式を入れること。
連立方程式	複数の方程式を組み合わせたもの。
解	すべての方程式を成り立たせる文字の値の組。
移項	等式の一方の辺の項を、符号を変えて他方の辺に移すこと。
係数	文字にかけられている数。
未知数	まだ値が分かっていない文字。
方程式	文字を含む等式。
等式	2つの数量が等しいことを表す式。
両辺	等号の左側と右側。

7．確認問題10問

代入法を使って、次の連立方程式を解いてみましょう。

【基本問題】

問1．

y＝x＋2
x＋y＝8

問2．

y＝x－1
x＋y＝7

問3．

x＝y＋3
x＋y＝9

問4．

y＝2x
x＋y＝12

問5．

x＝3y
x＋y＝16

【標準問題】

問6．

x＋y＝10
2x＋y＝14

問7．

x－y＝2
2x＋y＝13

問8．

2x＋y＝11
x－y＝1

【応用問題】

問9．

y＝－x＋7
2x＋y＝10

問10．

3x＋y＝14
x＋y＝8

8．確認問題の答え・解説

問1．

y＝x＋2を2つ目の式に代入します。

x＋（x＋2）＝8

2x＝6より、x＝3。

y＝3＋2＝5。

答え：x＝3、y＝5

問2．

y＝x－1を代入します。

x＋（x－1）＝7

2x＝8より、x＝4。

y＝4－1＝3。

答え：x＝4、y＝3

問3．

x＝y＋3を代入します。

（y＋3）＋y＝9

2y＝6より、y＝3。

x＝3＋3＝6。

答え：x＝6、y＝3

問4．

y＝2xを代入します。

x＋2x＝12

3x＝12より、x＝4。

y＝2×4＝8。

答え：x＝4、y＝8

問5．

x＝3yを代入します。

3y＋y＝16

4y＝16より、y＝4。

x＝3×4＝12。

答え：x＝12、y＝4

問6．

1つ目の式からy＝10－xとします。

2x＋（10－x）＝14

x＝4。

y＝10－4＝6。

答え：x＝4、y＝6

問7．

1つ目の式からy＝x－2とします。

2x＋（x－2）＝13

3x＝15より、x＝5。

y＝5－2＝3。

答え：x＝5、y＝3

問8．

2つ目の式からy＝x－1とします。

2x＋（x－1）＝11

3x＝12より、x＝4。

y＝4－1＝3。

答え：x＝4、y＝3

問9．

y＝－x＋7を代入します。

2x＋（－x＋7）＝10

x＋7＝10より、x＝3。

y＝－3＋7＝4。

答え：x＝3、y＝4

問10．

2つ目の式からy＝8－xとします。

3x＋（8－x）＝14

2x＝6より、x＝3。

y＝8－3＝5。

答え：x＝3、y＝5

9．まとめ

今回の学習では、連立方程式を解く方法の一つである代入法について学習しました。

• 代入法は、一方の式をもう一方の式に代入する方法。
• まず、x＝～またはy＝～の形に式を変形する。
• 代入して文字を1つにし、方程式を解く。
• 求めた値を使って、もう一方の文字も求める。
• 最後に、2つの式の両方に代入して確認する。

連立方程式には、前回学習した「加減法」と今回の「代入法」があります。式の形に合わせて、どちらの方法を使うと計算しやすいか考えられるようにしましょう。

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教科書の出版社・ページ範囲に基づく学習整理です。学校で使用している教科書の説明や表記もあわせて確認しましょう。

中学2年数学｜連立方程式とその解き方（1）

対象学年：中学2年生

教科書：東京書籍

学習範囲：p36～p45

学習のポイント

この単元では、2つの文字を使った式を組み合わせて、2つの文字の値を求める「連立方程式」について学習します。

• 連立方程式とは何かを理解する。
• 2つの式を同時に成り立たせる解を求める。
• 加減法を使って連立方程式を解く。
• 求めた解が正しいかどうかを確かめる。

目次

• 1．連立方程式とは
• 2．連立方程式の解
• 3．加減法による解き方
• 4．係数をそろえて解く方法
• 5．よくある間違い
• 6．重要語句
• 7．確認問題10問
• 8．確認問題の答え・解説
• 9．まとめ

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1．連立方程式とは

連立方程式とは、2つ以上の方程式を組み合わせたものです。

中学2年生では、主に2つの文字を使った連立方程式を学習します。

例：

x＋y＝10
x－y＝2

この2つの式を同時に成り立たせるxとyの値を求めます。

連立方程式では、1つの式だけでなく、組み合わせた2つの式の両方が成り立つ必要があります。

2．連立方程式の解

連立方程式の解とは、2つの方程式を同時に成り立たせる文字の値の組のことです。

例えば、次の連立方程式を考えます。

x＋y＝10
x－y＝2

x＝6、y＝4を代入すると、

• 6＋4＝10
• 6－4＝2

どちらの式も成り立ちます。

したがって、この連立方程式の解は、x＝6、y＝4です。

解を求めたら、元の2つの式に代入して確かめることが大切です。

3．加減法による解き方

連立方程式を解く方法の1つに「加減法」があります。

加減法とは、2つの式を足したり引いたりして、文字を1つ消去する方法です。

① 足して文字を消去する場合

次の連立方程式を解いてみましょう。

x＋y＝8 ……①
x－y＝2 ……②

①と②を辺ごとに足します。

2x＝10

したがって、

x＝5

x＝5を①に代入すると、

5＋y＝8
y＝3

よって、解はx＝5、y＝3です。

② 引いて文字を消去する場合

次の連立方程式を考えます。

x＋y＝9 ……①
x－y＝3 ……②

①から②を辺ごとに引きます。

2y＝6

したがって、

y＝3

y＝3を①に代入すると、

x＋3＝9
x＝6

よって、解はx＝6、y＝3です。

4．係数をそろえて解く方法

そのまま足したり引いたりしても文字が消えない場合は、式を何倍かして係数をそろえます。

例：

2x＋y＝7 ……①
x＋y＝5 ……②

①から②を引くと、

x＝2

x＝2を②に代入すると、

2＋y＝5
y＝3

よって、解はx＝2、y＝3です。

係数をそろえるときのポイント

• 消したい文字を決める。
• その文字の係数が同じ数、または反対の数になるように式を何倍かする。
• 足すか引くかを判断して文字を消去する。
• 残った文字の値をもう一方の式に代入する。

5．よくある間違い

• 符号の間違い：式を引くときは、引く式のすべての項の符号に注意しましょう。
• 片方の式だけで答えを出す：必ず2つの式を同時に満たす値を求めます。
• 代入の間違い：求めた文字の値を代入するとき、符号や計算ミスに注意しましょう。
• 係数をそろえるときのミス：式を何倍かするときは、左辺だけでなく右辺も同じ数をかけます。

6．重要語句

用語	意味
連立方程式	複数の方程式を組み合わせたもの。
解	方程式を成り立たせる文字の値。
加減法	式を足したり引いたりして文字を消去する方法。
代入	文字の代わりに数や式を入れること。
消去	計算によって文字をなくすこと。
係数	文字にかけられている数。
方程式	文字を含む等式で、文字の値によって成り立つもの。
等式	2つの数量が等しいことを表す式。
未知数	まだ値が分かっていない文字。
両辺	等号の左側と右側。

7．確認問題10問

学習した内容を使って、次の問題に挑戦してみましょう。

【基本問題】

問1．次の連立方程式の解を求めなさい。

x＋y＝7
x－y＝1

問2．次の連立方程式の解を求めなさい。

x＋y＝12
x－y＝4

問3．次の連立方程式の解を求めなさい。

2x＋y＝11
2x－y＝5

問4．次の連立方程式の解を求めなさい。

x＋2y＝11
x－2y＝3

問5．次の連立方程式の解を求めなさい。

3x＋y＝13
3x－y＝5

【標準問題】

問6．次の連立方程式の解を求めなさい。

2x＋y＝8
x＋y＝5

問7．次の連立方程式の解を求めなさい。

3x＋2y＝12
3x－2y＝4

問8．次の連立方程式の解を求めなさい。

2x＋3y＝13
2x－3y＝1

【応用問題】

問9．次の連立方程式の解を求めなさい。

2x＋y＝7
3x＋y＝10

問10．次の連立方程式の解を求めなさい。

2x＋3y＝13
x＋3y＝8

8．確認問題の答え・解説

問1．

x＋y＝7、x－y＝1を足すと、2x＝8。

x＝4。これを1つ目の式に代入してy＝3。

答え：x＝4、y＝3

問2．

2つの式を足すと、2x＝16。

x＝8。これを1つ目の式に代入してy＝4。

答え：x＝8、y＝4

問3．

2つの式を足すと、4x＝16。

x＝4。これを1つ目の式に代入してy＝3。

答え：x＝4、y＝3

問4．

2つの式を足すと、2x＝14。

x＝7。これを1つ目の式に代入して2y＝4。

答え：x＝7、y＝2

問5．

2つの式を足すと、6x＝18。

x＝3。これを1つ目の式に代入してy＝4。

答え：x＝3、y＝4

問6．

1つ目の式から2つ目の式を引くと、x＝3。

これを2つ目の式に代入してy＝2。

答え：x＝3、y＝2

問7．

2つの式を足すと、6x＝16。

x＝8/3。これを1つ目の式に代入すると、2y＝4。

答え：x＝8/3、y＝2

問8．

2つの式を足すと、4x＝14。

x＝7/2。これを1つ目の式に代入すると、3y＝6。

答え：x＝7/2、y＝2

問9．

2つ目の式から1つ目の式を引くと、x＝3。

これを1つ目の式に代入してy＝1。

答え：x＝3、y＝1

問10．

1つ目の式から2つ目の式を2倍した式を引くのではなく、2つの式を引くとx＝5。

これを2つ目の式に代入すると、3y＝3。

答え：x＝5、y＝1

9．まとめ

今回の単元では、連立方程式の意味と加減法による解き方を学習しました。

• 連立方程式は、複数の方程式を同時に成り立たせるもの。
• 解は、すべての式を成り立たせる文字の値の組。
• 加減法では、式を足したり引いたりして文字を消去する。
• 係数がそろっていない場合は、式を何倍かして調整する。
• 最後に元の式に代入して答えを確認する。

連立方程式は、この先の文章題や数学の応用問題にもつながる大切な単元です。計算の手順を一つずつ確認しながら、確実に解けるように練習しましょう。

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中2数学「式の計算（2）・文字式の利用」文字式を使って数の性質を説明しよう

対象学年：中学2年生

教科書：東京書籍 中学校数学

学習範囲：p19～31

目次

• 1. 文字式を使った説明とは
• 2. 偶数・奇数を文字式で表す
• 3. 連続する整数の表し方
• 4. 文字式を使って数の性質を説明する
• 5. 図形や数量の関係を文字式で表す
• 6. 説明を書くときのポイント
• 7. 重要語句・公式まとめ
• 8. 例題10問
• 9. 例題の答え・解説
• 10. よくある間違い
• 11. まとめ

1. 文字式を使った説明とは

中学2年生の数学では、文字式を使って数や数量の関係を説明する方法を学習します。

文字式を使うと、特定の数だけでなく、さまざまな数に共通する性質を説明できます。

例えば、2つの偶数を足すと必ず偶数になります。

実際に数字を使って確かめると、

• 2＋4＝6
• 6＋8＝14
• 10＋12＝22

どの場合も答えは偶数です。

これを文字式で説明すると、次のようになります。

このように、文字式を使えば、どんな整数についても成り立つことを説明できます。

2. 偶数・奇数を文字式で表す

偶数や奇数を文字式で表す方法は、文字式の利用で特に重要です。

偶数の表し方

偶数は2の倍数なので、整数をnとすると、

2n

奇数の表し方

奇数は偶数に1を足した数なので、

2n＋1

また、2n－1も奇数を表します。

具体例

• n＝1のとき、2n＝2、2n＋1＝3
• n＝2のとき、2n＝4、2n＋1＝5
• n＝3のとき、2n＝6、2n＋1＝7

ここで、nは整数であることが大切です。

3. 連続する整数の表し方

連続する整数とは、1ずつ順番に並んだ整数のことです。

例えば、3、4、5や、10、11、12などがあります。

連続する2つの整数

最初の整数をnとすると、

n、n＋1

連続する3つの整数

最初の整数をnとすると、

n、n＋1、n＋2

連続する偶数

最初の偶数を2nとすると、

2n、2n＋2、2n＋4

連続する奇数

最初の奇数を2n＋1とすると、

2n＋1、2n＋3、2n＋5

連続する偶数や奇数は、2ずつ増えることを覚えておきましょう。

4. 文字式を使って数の性質を説明する

文字式を利用すると、数の性質がいつでも成り立つことを説明できます。

例1：偶数と奇数の和は奇数になる

偶数を2a、奇数を2b＋1とすると、

2a＋(2b＋1)

＝2a＋2b＋1

＝2(a＋b)＋1

a＋bは整数なので、2(a＋b)＋1は奇数です。

したがって、偶数と奇数の和は奇数になります。

例2：2つの奇数の和は偶数になる

2つの奇数を2a＋1、2b＋1とすると、

(2a＋1)＋(2b＋1)

＝2a＋2b＋2

＝2(a＋b＋1)

a＋b＋1は整数なので、2(a＋b＋1)は偶数です。

したがって、2つの奇数の和は偶数になります。

例3：連続する2つの整数の和は奇数になる

連続する2つの整数をn、n＋1とすると、

n＋(n＋1)＝2n＋1

2n＋1は奇数なので、連続する2つの整数の和は奇数になります。

5. 図形や数量の関係を文字式で表す

文字式は、数の性質だけでなく、図形の周の長さや面積などを説明するときにも利用できます。

例：長方形の周の長さ

縦の長さをa cm、横の長さをb cmとすると、周の長さは、

2a＋2b＝2(a＋b)

となります。

例：正方形の周の長さ

1辺の長さをa cmとすると、

4a

となります。

数量の関係を文字式で表すときは、何を文字で表しているのかを最初に確認しましょう。

6. 説明を書くときのポイント

文字式を使った説明では、答えだけでなく、途中の考え方を正しく書くことが大切です。

説明の基本的な順序

1. 文字を使って、説明したい数を表す。
2. その文字式を使って計算する。
3. 計算結果を整理する。
4. 結果が偶数・奇数などのどの性質に当てはまるか説明する。
5. 最後に結論を書く。

計算だけで終わらせず、なぜその数が偶数や奇数になるのかを文章で説明しましょう。

7. 重要語句・公式まとめ

※nは整数とします。

8. 例題10問

文字式の利用は、式を正しく表す力と、計算結果を説明する力が大切です。次の問題に挑戦してみましょう。

【基本問題】

問題1 偶数を文字nを使って表しなさい。

問題2 奇数を文字nを使って表しなさい。

問題3 連続する3つの整数を、最も小さい整数をnとして表しなさい。

問題4 連続する2つの偶数を、最も小さい偶数を2nとして表しなさい。

問題5 連続する2つの奇数を、最も小さい奇数を2n＋1として表しなさい。

【標準問題】

問題6 2つの偶数2a、2bの和が偶数になることを、文字式を使って説明しなさい。

問題7 偶数と奇数の和が奇数になることを、文字式を使って説明しなさい。

問題8 連続する3つの整数の和が、3の倍数になるとは限らないことを確かめなさい。具体例を1つ挙げなさい。

【応用問題】

問題9 連続する2つの整数の積が偶数になることを、文字式を使って説明しなさい。

問題10 ある整数の2倍に1を加えた数は、必ず奇数になることを説明しなさい。

9. 例題の答え・解説

問題1の答え

2n

偶数は2の倍数なので、2nと表せます。

問題2の答え

2n＋1

偶数に1を加えると奇数になります。

問題3の答え

n、n＋1、n＋2

連続する整数は1ずつ増えます。

問題4の答え

2n、2n＋2

偶数は2ずつ増えます。

問題5の答え

2n＋1、2n＋3

奇数も2ずつ増えます。

問題6の答え

2a＋2b＝2(a＋b)

a＋bは整数なので、2(a＋b)は偶数です。

したがって、2つの偶数の和は偶数になります。

問題7の答え

2a＋(2b＋1)

＝2(a＋b)＋1

a＋bは整数なので、2(a＋b)＋1は奇数です。

したがって、偶数と奇数の和は奇数になります。

問題8の答え

例えば、1、2、3の和は、

1＋2＋3＝6

6は3の倍数です。

この問題は、実は連続する3つの整数の和は必ず3の倍数になります。正しい性質は次のように説明できます。

n＋(n＋1)＋(n＋2)＝3n＋3＝3(n＋1)

n＋1は整数なので、3(n＋1)は3の倍数です。

問題9の答え

連続する2つの整数をn、n＋1とすると、積は、

n(n＋1)

nとn＋1は連続する整数なので、どちらか一方は必ず偶数です。

したがって、その積は必ず偶数になります。

問題10の答え

整数をnとすると、2倍に1を加えた数は、

2n＋1

これは奇数の表し方なので、必ず奇数になります。

10. よくある間違い

• 偶数と奇数の表し方を間違える：偶数は2n、奇数は2n＋1と覚える。
• 連続する偶数を1ずつ増やしてしまう：偶数は2ずつ増えるため、2n、2n＋2となる。
• 文字が整数であることを書き忘れる：偶数・奇数の説明では、文字が整数であることを明確にする。
• 式の変形だけで説明を終える：最後に、計算結果から何がいえるのかを書く。
• かっこの付け忘れ：和や差をまとめるときは、分配法則を正しく使う。

11. まとめ

今回の単元では、文字式を使って数の性質や数量の関係を説明する方法を学習しました。

特に、偶数を2n、奇数を2n＋1と表す方法や、連続する整数を文字式で表す方法は重要です。

また、文字式を使った説明では、式を作るだけでなく、計算結果がなぜ偶数や奇数になるのかを文章で説明することが大切です。

文字式の利用は、答えを求めるだけでなく、数学的な考え方を説明する力を身につける単元です。基本の表し方を覚え、少しずつ説明問題にも挑戦していきましょう。

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中2理科「気象の観測②」気圧と風の関係・大気の動きを理解しよう

対象学年：中学2年生

教科書：東京書籍 中学校理科

学習範囲：p180～194

目次

• 1. 気圧と空気の重さ
• 2. 高気圧と低気圧
• 3. 等圧線と天気図
• 4. 風が吹く仕組み
• 5. 日本付近の風と大気の動き
• 6. 気圧配置と天気
• 7. 重要語句まとめ
• 8. 一問一答10問
• 9. よくある間違い
• 10. まとめ

1. 気圧と空気の重さ

私たちの周囲には空気があり、空気にも重さがあります。そのため、空気は地面や物体を押す力を生み出しています。この力を表すものが気圧です。

気圧は場所や高さによって異なります。

• 一般に、高度が高くなるほど気圧は低くなる。
• 気圧の単位にはhPa（ヘクトパスカル）を使う。
• 気圧は天気の変化とも深く関係している。

気圧の変化を調べることで、空気の動きや天気の変化を考えることができます。

2. 高気圧と低気圧

周囲と比べて気圧が高いところを高気圧、周囲と比べて気圧が低いところを低気圧といいます。

高気圧の特徴

• 周囲より気圧が高い。
• 中心付近では空気が下降する。
• 下降した空気は地表付近で周囲へ広がる。
• 雲ができにくく、晴れやすい。

低気圧の特徴

• 周囲より気圧が低い。
• 地表付近では空気が中心に向かって集まる。
• 集まった空気は上昇する。
• 上昇した空気が冷やされると雲ができやすく、雨が降ることもある。

高気圧と低気圧では、空気の動きが反対になることを覚えておきましょう。

3. 等圧線と天気図

等圧線とは、気圧の等しい地点を結んだ線のことです。

天気図には等圧線が描かれており、気圧の分布や風の強さを読み取ることができます。

等圧線の読み取りポイント

• 等圧線の間隔が狭いところでは、気圧の変化が大きい。
• 等圧線の間隔が広いところでは、気圧の変化が小さい。
• 等圧線の間隔が狭いところほど、一般に風が強く吹く。

天気図では、高気圧を「高」、低気圧を「低」と表すことがあります。

等圧線の形や間隔を確認することで、風の強さや気圧配置の特徴を考えることができます。

4. 風が吹く仕組み

風は、空気が移動することで生じます。空気は一般に、気圧の高いところから低いところへ向かって動こうとします。

このような気圧の差によって生じる空気の動きが風の原因の一つです。

風の強さと気圧の関係

• 気圧の差が大きいほど、風は強くなりやすい。
• 等圧線の間隔が狭いほど、風は強くなりやすい。
• 等圧線の間隔が広いほど、風は弱くなりやすい。

ただし、実際の風向や風速には地球の自転や地表との摩擦なども関係しています。

5. 日本付近の風と大気の動き

日本付近では、季節によって気圧配置が変化し、それにともなって風向や天気も変わります。

季節風

季節によって風向が変わる風を季節風といいます。

• 冬：大陸側にシベリア高気圧、日本の東側に低気圧ができやすく、北西の季節風が吹く。日本海側では雪が降りやすい。
• 夏：太平洋高気圧の影響を受けやすく、南東寄りの暖かく湿った空気が流れ込む。

季節風は、大陸と海洋の温まり方や冷え方の違いなどによって生じる季節的な風です。

6. 気圧配置と天気

日本付近の天気は、高気圧や低気圧の位置、季節ごとの気圧配置によって変化します。

代表的な気圧配置

① 西高東低の気圧配置

冬に多く見られる気圧配置です。日本の西側に高気圧、東側に低気圧があり、北西の季節風が吹きます。日本海側では雪が降りやすく、太平洋側では晴れる日が多くなります。

② 南高北低の気圧配置

夏には南側に太平洋高気圧が張り出し、日本付近は暖かく湿った空気の影響を受けやすくなります。

③ 移動性高気圧と低気圧

春や秋には、高気圧と低気圧が西から東へ交互に移動することが多く、天気が数日ごとに変化しやすくなります。

気圧配置を読み取ることは、天気の変化を予測するうえで重要です。

7. 重要語句まとめ

8. 一問一答10問

問題

1. 周囲より気圧が高いところを何というか。
2. 周囲より気圧が低いところを何というか。
3. 気圧の等しい地点を結んだ線を何というか。
4. 一般に、等圧線の間隔が狭いところでは風はどうなるか。
5. 高気圧の中心付近では空気は上昇するか、下降するか。
6. 低気圧の中心付近では空気は上昇するか、下降するか。
7. 季節によって風向が変わる風を何というか。
8. 冬に日本付近でよく見られる気圧配置を何というか。
9. 冬の西高東低の気圧配置で、日本海側に多く見られる天気は何か。
10. 春や秋に高気圧と低気圧が交互に通過すると、天気はどう変化しやすいか。

答え・短い解説

1. 高気圧。周囲より気圧が高い場所。
2. 低気圧。周囲より気圧が低い場所。
3. 等圧線。天気図に描かれている。
4. 強くなりやすい。気圧の変化が大きいため。
5. 下降する。中心付近で下降気流が生じる。
6. 上昇する。周囲から集まった空気が上昇する。
7. 季節風。季節によって風向が変化する。
8. 西高東低の気圧配置。冬に多く見られる。
9. 雪。日本海側では雪が降りやすい。
10. 数日ごとに変化しやすい。高気圧と低気圧が交互に通過するため。

9. よくある間違い

• 高気圧と低気圧の違い：高気圧は周囲より気圧が高く、低気圧は周囲より気圧が低い。
• 上昇気流と下降気流：高気圧の中心付近では下降気流、低気圧の中心付近では上昇気流が生じる。
• 等圧線の間隔：狭いほど風が強くなりやすい。
• 風向の意味：風向は風が吹いてくる方向を表す。
• 冬の気圧配置：西高東低の気圧配置と日本海側の雪を関連づけて覚える。

10. まとめ

今回の単元では、気圧の高低による空気の動きや、等圧線を使った天気図の読み取りについて学びました。

高気圧では下降気流、低気圧では上昇気流が生じること、等圧線の間隔が狭いほど風が強くなりやすいことは、特に重要です。

また、日本付近では季節によって気圧配置が変化し、風向や天気にも違いが生じます。

気象の観測で学んだ内容は、天気の変化を理解するための大切な基礎です。天気図を見ながら、気圧配置と風、天気の関係を考える練習をしていきましょう。

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