1次関数の性質と調べ方｜式・表・グラフの基本

対象：中学2年 数学

教科書：東京書籍『新編 新しい数学2』

学習範囲：p.58～70

目次

1. 学習のポイント
2. 1次関数とは
3. 1次関数の式
4. 変化の割合
5. 1次関数のグラフ
6. 表・式・グラフの関係
7. 例題10問
8. 例題の答えと解説
9. よくある間違い
10. まとめ

1．学習のポイント

1次関数は、2つの数量の関係を式や表、グラフで表す学習です。次の内容を押さえましょう。

• 1次関数は、y＝ax＋bの形で表される。
• aは変化の割合を表し、グラフの傾きになる。
• bは切片を表し、グラフがy軸と交わる位置を示す。
• 変化の割合は、yの増加量をxの増加量で割って求める。
• 1次関数は、式・表・グラフを関連付けて調べることが大切である。

2．1次関数とは

ともなって変わる2つの数量

たとえば、水そうに毎分一定量の水を入れると、時間がたつにつれて水の量が増えていきます。

このように、ある数量が変化すると、それにともなって別の数量も変化する関係を考えます。

1次関数の意味

yがxの1次関数であるとは、次の式で表される関係のことです。

• x：自分で決める数量（変数）
• y：xの値によって決まる数量（変数）
• a：変化の割合
• b：切片

たとえば、y＝3x＋2は1次関数です。xの値が1増えると、yの値は3増えます。また、x＝0のときy＝2になります。

1次関数と比例の違い

比例はy＝axと表されます。これは1次関数y＝ax＋bで、b＝0の場合です。

3．1次関数の式

式の求め方

1次関数の式は、y＝ax＋bに数値を代入して求めます。

例：x＝2のときy＝7、x＝4のときy＝13となる1次関数を考えます。

2点の値から、xが2増えるとyが6増えていることがわかります。

したがって、変化の割合は6÷2＝3です。

y＝3x＋bにx＝2、y＝7を代入すると、

7＝3×2＋b

b＝1

よって、求める式はy＝3x＋1です。

aとbの意味

• a：xが1増えたときのyの増加量。グラフの傾き。
• b：x＝0のときのyの値。グラフのy切片。

4．変化の割合

変化の割合とは

xの値が増加したとき、yの値がどれだけ変化するかを表す割合です。

増加量の求め方

増加量は、後の値から前の値を引いて求めます。

たとえば、xが2から5に変わった場合、xの増加量は5－2＝3です。

yが7から16に変わった場合、yの増加量は16－7＝9です。

変化の割合は、9÷3＝3となります。

変化の割合が負になる場合

たとえば、xが1増えるとyが2ずつ減る場合、変化の割合は－2です。

1次関数の式はy＝－2x＋bの形になります。aが負のとき、グラフは右下がりになります。

5．1次関数のグラフ

グラフの形

1次関数のグラフは直線になります。式y＝ax＋bのaとbによって、直線の傾きや位置が決まります。

傾きと切片

• 傾き：xが1増えたときにyがどれだけ増減するかを表す。
• 切片：グラフがy軸と交わる点のy座標。

たとえば、y＝2x＋1では、傾きは2、切片は1です。

x＝0のときy＝1なので、グラフは点（0，1）を通ります。さらにxが1増えるとyが2増えるため、点（1，3）も通ります。この2点を結ぶとグラフがかけます。

傾きの正負とグラフ

グラフをかく手順

1. 式から切片bを読み取り、点（0，b）をとる。
2. 傾きaを使って、もう1つの点をとる。
3. 2点を通る直線を引く。

傾きが分数の場合は、分母だけxを増やしたとき、分子だけyを増減させると考えると便利です。

6．表・式・グラフの関係

1次関数は、表・式・グラフの3つを関連付けて考えることが大切です。

式から表をつくる

y＝2x＋1の場合、xにいくつかの値を代入すると、対応するyの値が求められます。

xが1増えるごとに、yは2ずつ増えています。表からも変化の割合が2であることを確認できます。

表から式を考える

表からxの増加量とyの増加量を調べると、変化の割合aが求められます。その後、分かっているxとyの値を式y＝ax＋bに代入すると、切片bを求められます。

式からグラフを考える

式y＝ax＋bのaから傾きを、bから切片を読み取ることで、グラフの特徴を調べられます。

7．例題10問

基本問題を解いて、1次関数の式・変化の割合・グラフの特徴を確認しましょう。

例題1　1次関数かどうかを判断する

次のうち、yがxの1次関数であるものを選びなさい。

① y＝3x＋2　② y＝x²＋1　③ y＝－4x　④ y＝5÷x

例題2　式に代入する

y＝2x－3について、x＝4のときのyの値を求めなさい。

例題3　変化の割合を求める

xが1から4まで増加するとき、yが5から14まで増加した。変化の割合を求めなさい。

例題4　1次関数の式を求める

変化の割合が3で、x＝0のときy＝2となる1次関数の式を求めなさい。

例題5　2点から式を求める

1次関数のグラフが点（1，4）、（3，10）を通るとき、この1次関数の式を求めなさい。

例題6　切片を求める

y＝－2x＋5の切片を答えなさい。

例題7　傾きを求める

y＝4x－3の傾きを答えなさい。

例題8　グラフの向きを判断する

次の1次関数のグラフは右上がり、右下がりのどちらになりますか。

① y＝5x＋1　② y＝－3x＋2

例題9　表から式を求める

次の表は1次関数の関係を表しています。式を求めなさい。

例題10　変化の割合と増加量

y＝－2x＋6について、xが2から5まで増加するとき、次の問いに答えなさい。

1. yの増加量を求めなさい。
2. 変化の割合を求めなさい。

8．例題の答えと解説

例題1の答え

①と③

1次関数はy＝ax＋b（a≠0）の形で表されます。①はy＝3x＋2、③はy＝－4xなので、どちらも1次関数です。②はx²を含み、④はxが分母にあるため、1次関数ではありません。

例題2の答え

y＝5

y＝2x－3にx＝4を代入します。

y＝2×4－3＝8－3＝5

例題3の答え

3

xの増加量は4－1＝3、yの増加量は14－5＝9です。

変化の割合＝9÷3＝3

例題4の答え

y＝3x＋2

変化の割合が3なので、a＝3です。また、x＝0のときy＝2なので、b＝2です。

したがって、y＝3x＋2です。

例題5の答え

y＝3x＋1

まず、変化の割合を求めます。

a＝（10－4）÷（3－1）＝6÷2＝3

y＝3x＋bに点（1，4）を代入します。

4＝3×1＋b

b＝1

よって、y＝3x＋1です。

例題6の答え

5

y＝ax＋bのbが切片です。したがって、切片は5です。

例題7の答え

4

y＝ax＋bのaが傾きです。したがって、傾きは4です。

例題8の答え

①右上がり　②右下がり

①は傾きが5で正の数なので右上がりです。②は傾きが－3で負の数なので右下がりです。

例題9の答え

y＝3x＋1

xが1増えると、yは3増えているので、変化の割合は3です。

y＝3x＋bにx＝1、y＝4を代入します。

4＝3×1＋b

b＝1

よって、y＝3x＋1です。

例題10の答え

1. －6
   x＝2のとき、y＝－2×2＋6＝2です。
   x＝5のとき、y＝－2×5＋6＝－4です。
   yの増加量は－4－2＝－6です。
2. －2
   xの増加量は5－2＝3です。
   変化の割合＝－6÷3＝－2です。

9．よくある間違い

• 1次関数の式を間違える：y＝ax＋bの形を確認しましょう。aは0ではありません。
• 変化の割合の計算順序を間違える：yの増加量をxの増加量で割ります。
• 増加量の符号を間違える：増加量は「後の値－前の値」で求めます。減少した場合は負の数になります。
• 傾きと切片を混同する：y＝ax＋bでは、aが傾き、bが切片です。
• グラフの向きを逆にする：傾きが正なら右上がり、負なら右下がりです。
• 式を求めるときに代入を忘れる：まずaを求め、その後にxとyの値を代入してbを求めましょう。

10．まとめ

1次関数は、y＝ax＋bの形で表される関数です。aは変化の割合であり、グラフの傾きを表します。bは切片で、グラフがy軸と交わる位置を示します。

変化の割合は、yの増加量をxの増加量で割って求めます。1次関数では、どの区間でも変化の割合は一定で、aと等しくなります。

グラフは直線になり、傾きが正なら右上がり、負なら右下がりです。表・式・グラフを関連付けて考え、1次関数の特徴を読み取れるようにしましょう。

ATOMS LABのご案内

ATOMS LABでは、学習内容の理解を深めるための取り組みを準備しています。

ATOMS LABは現在準備中です。

※本ページは東京書籍『新編 新しい数学2』の学習範囲に沿って、内容を学習用に整理したものです。教科書の版や学校での扱いによって、ページ構成や表現が異なる場合があります。
更新日：2026年11月