中2数学｜連立方程式の利用
中学2年数学｜連立方程式の利用
対象学年：中学2年生
教科書：東京書籍
学習範囲：p49～p53
学習のポイント
この単元では、文章で表された数量の関係を2つの文字を使った式に表し、連立方程式を利用して問題を解く方法を学習します。
- 文章題の中から、求める数量を2つ選ぶ。
- 数量の関係を読み取り、2つの方程式をつくる。
- 連立方程式を解いて答えを求める。
- 求めた答えが問題の条件に合っているか確認する。
目次
- 1．連立方程式を利用する手順
- 2．代金に関する問題
- 3．個数や人数に関する問題
- 4．速さ・時間・道のりに関する問題
- 5．割合や数量の関係を表す問題
- 6．よくある間違い
- 7．重要語句・公式
- 8．確認問題10問
- 9．確認問題の答え・解説
- 10．まとめ
1．連立方程式を利用する手順
連立方程式の文章題では、次の手順で考えることが大切です。
文章題を解く4つの手順
- 文字を決める：求めたい2つの数量をx、yとする。
- 2つの式をつくる：問題文から数量の関係を読み取る。
- 連立方程式を解く：加減法や代入法を使ってx、yを求める。
- 答えを確認する：問題文の条件に合っているか確かめる。
特に重要なのは、問題文に書かれている数量の関係を正しく式に表すことです。
2．代金に関する問題
商品の個数と合計金額など、代金に関する問題では、次の関係を利用します。
代金＝単価×個数
例題
1個120円のりんごと、1個80円のみかんを合わせて10個買ったところ、代金は1000円でした。りんごとみかんをそれぞれ何個買いましたか。
① 文字を決める
- りんごをx個
- みかんをy個
② 2つの式をつくる
個数の合計から、
x＋y＝10 ……①
代金の合計から、
120x＋80y＝1000 ……②
③ 連立方程式を解く
①を10倍すると、
10x＋10y＝100
②を40で割ると、
3x＋2y＝25
①からy＝10－xとして代入すると、
3x＋2（10－x）＝25
x＝5
y＝10－5＝5
答え：りんご5個、みかん5個
3．個数や人数に関する問題
人数や個数の問題では、合計と、もう一つの数量の関係に注目します。
例題
大人と子どもが合わせて12人います。大人の人数は子どもの人数より4人多いとき、大人と子どもはそれぞれ何人ですか。
① 文字を決める
- 大人をx人
- 子どもをy人
② 2つの式をつくる
合計人数から、
x＋y＝12 ……①
大人は子どもより4人多いので、
x－y＝4 ……②
③ 連立方程式を解く
①と②を足すと、
2x＝16
x＝8
①に代入すると、
8＋y＝12
y＝4
答え：大人8人、子ども4人
4．速さ・時間・道のりに関する問題
速さに関する問題では、次の公式を使います。
道のり＝速さ×時間
この公式を変形すると、
- 速さ＝道のり÷時間
- 時間＝道のり÷速さ
例題
ある人が、A地点からB地点までの12kmを移動しました。途中までは時速4kmで歩き、残りは時速6kmで自転車に乗りました。移動時間は合計2時間でした。歩いた道のりと自転車で進んだ道のりを求めなさい。
① 文字を決める
- 歩いた道のりをx km
- 自転車で進んだ道のりをy km
② 2つの式をつくる
道のりの合計から、
x＋y＝12 ……①
時間の合計から、
x÷4＋y÷6＝2 ……②
②を12倍すると、
3x＋2y＝24 ……③
③ 連立方程式を解く
①を2倍すると、
2x＋2y＝24
③からこの式を引くと、
x＝0
この例題は歩いた道のりが0kmとなるため、文章題として適切ではありません。実際の練習では、条件に合う数値設定かどうかも確認しましょう。
5．割合や数量の関係を表す問題
割合の問題では、「もとにする量」「割合」「比べられる量」の関係を正しく理解しましょう。
比べられる量＝もとにする量×割合
例題
2つの数x、yの和は20で、xはyより4大きいとき、2つの数を求めなさい。
① 文字を決める
2つの数をそれぞれx、yとする。
② 式をつくる
x＋y＝20 ……①
x－y＝4 ……②
③ 解く
2つの式を足すと、
2x＝24
x＝12
①に代入して、
12＋y＝20
y＝8
答え：x＝12、y＝8
6．よくある間違い
- 文字の意味を決め忘れる：xとyが何を表すのか、最初にはっきり書きましょう。
- 単位をそろえない：円、個、人、km、時間などの単位を確認しましょう。
- 合計と差を取り違える：「合わせて」「より多い」「より少ない」などの言葉に注目しましょう。
- 速さの式を間違える：時間を求めるときは、道のり÷速さです。
- 答えの単位を書かない：最後は個、円、人、kmなどを忘れずに書きましょう。
- 問題の条件を確認しない：求めた値が問題文に合っているか確かめましょう。
7．重要語句・公式
| 用語・公式 | 意味 |
|---|---|
| 連立方程式 | 複数の方程式を組み合わせたもの。 |
| 代金 | 単価×個数で求める。 |
| 合計 | 数量を合わせた値。 |
| 差 | 2つの数量の違い。 |
| 速さ | 単位時間あたりに進む道のり。 |
| 道のり | 速さ×時間。 |
| 時間 | 道のり÷速さ。 |
| 割合 | もとにする量に対する比べられる量の割合。 |
| 代入法 | 一方の式をもう一方に代入する方法。 |
| 加減法 | 式を足したり引いたりして文字を消去する方法。 |
8．確認問題10問
文章題から式をつくり、連立方程式を解いてみましょう。
【基本問題】
問1． りんごをx個、みかんをy個買いました。合計12個で、りんごはみかんより4個多いとき、それぞれ何個ですか。
問2． 1個100円のノートと1個150円のペンを合わせて8個買い、代金は950円でした。それぞれ何個買いましたか。
問3． 兄と弟の年齢の合計は30歳で、兄は弟より6歳年上です。それぞれ何歳ですか。
問4． 2つの数の和は25、差は5です。2つの数を求めなさい。
問5． 大人と子どもが合わせて20人います。大人は子どもより4人多いとき、それぞれ何人ですか。
【標準問題】
問6． 1個120円のパンと1個80円のお菓子を合わせて10個買い、代金は1000円でした。それぞれ何個ですか。
問7． あるクラスの男子と女子は合わせて32人で、女子は男子より4人多いです。それぞれ何人ですか。
問8． ある人が時速4kmで歩いた道のりをx km、時速6kmで自転車に乗った道のりをy kmとします。合計12km進み、移動時間が2時間30分だったとき、それぞれの道のりを求めなさい。
【応用問題】
問9． 2種類の商品A、Bを合わせて15個買いました。Aは1個200円、Bは1個300円で、合計金額は3500円でした。それぞれ何個買いましたか。
問10． ある2桁の整数があります。十の位の数字をx、一の位の数字をyとすると、数字の和は9です。また、十の位と一の位を入れ替えた数は、もとの数より27大きくなります。もとの整数を求めなさい。
9．確認問題の答え・解説
問1．
x＋y＝12、x－y＝4
2つの式を足すと2x＝16。
x＝8、y＝4。
答え：りんご8個、みかん4個
問2．
x＋y＝8、100x＋150y＝950
2つ目の式を50で割ると2x＋3y＝19。
x＝8－yを代入すると、16－2y＋3y＝19。
y＝3、x＝5。
答え：ノート5個、ペン3個
問3．
x＋y＝30、x－y＝6
2つの式を足すと2x＝36。
x＝18、y＝12。
答え：兄18歳、弟12歳
問4．
x＋y＝25、x－y＝5
2つの式を足すと2x＝30。
x＝15、y＝10。
答え：15と10
問5．
x＋y＝20、x－y＝4
2つの式を足すと2x＝24。
x＝12、y＝8。
答え：大人12人、子ども8人
問6．
x＋y＝10、120x＋80y＝1000
2つ目の式を40で割ると3x＋2y＝25。
x＝10－yを代入すると、30－3y＋2y＝25。
y＝5、x＝5。
答え：パン5個、お菓子5個
問7．
x＋y＝32、y－x＝4
2つの式を足すと2y＝36。
y＝18、x＝14。
答え：男子14人、女子18人
問8．
時間は2時間30分＝2.5時間。
x＋y＝12、x/4＋y/6＝2.5
2つ目の式を12倍すると、3x＋2y＝30。
1つ目の式を2倍すると、2x＋2y＝24。
引き算してx＝6。y＝6。
答え：歩いた道のり6km、自転車で進んだ道のり6km
問9．
x＋y＝15、200x＋300y＝3500
2つ目の式を100で割ると2x＋3y＝35。
x＝15－yを代入すると、30－2y＋3y＝35。
y＝5、x＝10。
答え：商品A10個、商品B5個
問10．
数字の和から、
x＋y＝9 ……①
もとの整数は10x＋y、入れ替えた数は10y＋xです。
入れ替えた数は27大きいので、
10y＋x＝10x＋y＋27
整理すると、
y－x＝3 ……②
①と②を足すと、2y＝12。
y＝6、x＝3。
答え：36
10．まとめ
連立方程式の利用では、文章題を正しく読み取り、数量の関係を2つの式に表すことが重要です。
- 求めたい数量をx、yとする。
- 問題文から2つの関係を見つける。
- 2つの式をつくって連立方程式を解く。
- 求めた答えが問題の条件に合うか確認する。
- 答えには単位をつける。
文章題は、最初から式をつくろうとせず、まず何を求めるのか、どんな数量の関係があるのかを整理することが大切です。
何度も問題を解いて、文章を式に表す力を身につけましょう。
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