中2数学｜連立方程式とその解き方（2）
中学2年数学｜連立方程式とその解き方（2）
対象学年：中学2年生
教科書：東京書籍
学習範囲：p46～p47
学習のポイント
今回は、連立方程式を解く方法の一つである「代入法」について学習します。
- 代入法の意味と基本的な手順を理解する。
- 一方の式をもう一方の式に代入する。
- 文字を1つにして方程式を解く。
- 求めた解をもとの連立方程式に代入して確かめる。
目次
1．代入法とは
代入法とは、一方の式から求めた文字の式を、もう一方の式に代入して解く方法です。
例えば、次の連立方程式を考えます。
y＝x＋2 ……①
x＋y＝8 ……②
①から、yはx＋2と分かっています。
そこで、②のyにx＋2を代入します。
x＋（x＋2）＝8
このように、文字を1つにして方程式を解くことができます。
2．代入法の基本的な解き方
次の連立方程式を解いてみましょう。
y＝x＋3 ……①
x＋y＝9 ……②
① ①の式を②に代入する
②のyに、①のx＋3を代入します。
x＋（x＋3）＝9
② xについての方程式を解く
2x＋3＝9
2x＝6
x＝3
③ x＝3を①に代入する
y＝3＋3
y＝6
答え：x＝3、y＝6
代入法では、最初に一方の文字をもう一方の文字の式で表しておくと、計算を進めやすくなります。
3．式を変形して代入する方法
一方の式が「y＝～」や「x＝～」の形になっていない場合は、まず式を変形します。
例題：
x＋y＝10 ……①
2x＋y＝14 ……②
① ①の式をyについて解く
y＝10－x
② ②に代入する
2x＋（10－x）＝14
③ xを求める
x＋10＝14
x＝4
④ yを求める
y＝10－4
y＝6
答え：x＝4、y＝6
4．代入法を使うときのポイント
- 一方の式をx＝～、またはy＝～の形に変形する。
- 求めた式を、もう一方の式に代入する。
- かっこを使って代入し、符号の間違いを防ぐ。
- 文字が1つになった方程式を解く。
- 求めた値をもとの式に代入して、もう一方の文字を求める。
- 最後に2つの式の両方に代入して確認する。
特に、マイナスの符号がついた式を代入するときは注意しましょう。
5．よくある間違い
- かっこをつけ忘れる：y＝x－2を代入するときは、（x－2）のようにかっこをつけましょう。
- 符号を間違える：－（x＋3）は－x－3になります。
- 移項の間違い：項を移項するときは符号が変わることを確認しましょう。
- 片方の文字を求めて終わる：xだけでなく、yも必ず求めましょう。
- 代入による確認を忘れる：求めた値が2つの式を両方満たすか確認しましょう。
6．重要語句
| 用語 | 意味 |
|---|---|
| 代入法 | 一方の式をもう一方の式に代入して解く方法。 |
| 代入 | 文字の代わりに数や式を入れること。 |
| 連立方程式 | 複数の方程式を組み合わせたもの。 |
| 解 | すべての方程式を成り立たせる文字の値の組。 |
| 移項 | 等式の一方の辺の項を、符号を変えて他方の辺に移すこと。 |
| 係数 | 文字にかけられている数。 |
| 未知数 | まだ値が分かっていない文字。 |
| 方程式 | 文字を含む等式。 |
| 等式 | 2つの数量が等しいことを表す式。 |
| 両辺 | 等号の左側と右側。 |
7．確認問題10問
代入法を使って、次の連立方程式を解いてみましょう。
【基本問題】
問1．
y＝x＋2
x＋y＝8
問2．
y＝x－1
x＋y＝7
問3．
x＝y＋3
x＋y＝9
問4．
y＝2x
x＋y＝12
問5．
x＝3y
x＋y＝16
【標準問題】
問6．
x＋y＝10
2x＋y＝14
問7．
x－y＝2
2x＋y＝13
問8．
2x＋y＝11
x－y＝1
【応用問題】
問9．
y＝－x＋7
2x＋y＝10
問10．
3x＋y＝14
x＋y＝8
8．確認問題の答え・解説
問1．
y＝x＋2を2つ目の式に代入します。
x＋（x＋2）＝8
2x＝6より、x＝3。
y＝3＋2＝5。
答え：x＝3、y＝5
問2．
y＝x－1を代入します。
x＋（x－1）＝7
2x＝8より、x＝4。
y＝4－1＝3。
答え：x＝4、y＝3
問3．
x＝y＋3を代入します。
（y＋3）＋y＝9
2y＝6より、y＝3。
x＝3＋3＝6。
答え：x＝6、y＝3
問4．
y＝2xを代入します。
x＋2x＝12
3x＝12より、x＝4。
y＝2×4＝8。
答え：x＝4、y＝8
問5．
x＝3yを代入します。
3y＋y＝16
4y＝16より、y＝4。
x＝3×4＝12。
答え：x＝12、y＝4
問6．
1つ目の式からy＝10－xとします。
2x＋（10－x）＝14
x＝4。
y＝10－4＝6。
答え：x＝4、y＝6
問7．
1つ目の式からy＝x－2とします。
2x＋（x－2）＝13
3x＝15より、x＝5。
y＝5－2＝3。
答え：x＝5、y＝3
問8．
2つ目の式からy＝x－1とします。
2x＋（x－1）＝11
3x＝12より、x＝4。
y＝4－1＝3。
答え：x＝4、y＝3
問9．
y＝－x＋7を代入します。
2x＋（－x＋7）＝10
x＋7＝10より、x＝3。
y＝－3＋7＝4。
答え：x＝3、y＝4
問10．
2つ目の式からy＝8－xとします。
3x＋（8－x）＝14
2x＝6より、x＝3。
y＝8－3＝5。
答え：x＝3、y＝5
9．まとめ
今回の学習では、連立方程式を解く方法の一つである代入法について学習しました。
- 代入法は、一方の式をもう一方の式に代入する方法。
- まず、x＝～またはy＝～の形に式を変形する。
- 代入して文字を1つにし、方程式を解く。
- 求めた値を使って、もう一方の文字も求める。
- 最後に、2つの式の両方に代入して確認する。
連立方程式には、前回学習した「加減法」と今回の「代入法」があります。式の形に合わせて、どちらの方法を使うと計算しやすいか考えられるようにしましょう。
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