中2数学｜連立方程式とその解き方（1）
中学2年数学｜連立方程式とその解き方（1）
対象学年：中学2年生
教科書：東京書籍
学習範囲：p36～p45
学習のポイント
この単元では、2つの文字を使った式を組み合わせて、2つの文字の値を求める「連立方程式」について学習します。
- 連立方程式とは何かを理解する。
- 2つの式を同時に成り立たせる解を求める。
- 加減法を使って連立方程式を解く。
- 求めた解が正しいかどうかを確かめる。
目次
1．連立方程式とは
連立方程式とは、2つ以上の方程式を組み合わせたものです。
中学2年生では、主に2つの文字を使った連立方程式を学習します。
例：
x＋y＝10
x－y＝2
この2つの式を同時に成り立たせるxとyの値を求めます。
連立方程式では、1つの式だけでなく、組み合わせた2つの式の両方が成り立つ必要があります。
2．連立方程式の解
連立方程式の解とは、2つの方程式を同時に成り立たせる文字の値の組のことです。
例えば、次の連立方程式を考えます。
x＋y＝10
x－y＝2
x＝6、y＝4を代入すると、
- 6＋4＝10
- 6－4＝2
どちらの式も成り立ちます。
したがって、この連立方程式の解は、x＝6、y＝4です。
解を求めたら、元の2つの式に代入して確かめることが大切です。
3．加減法による解き方
連立方程式を解く方法の1つに「加減法」があります。
加減法とは、2つの式を足したり引いたりして、文字を1つ消去する方法です。
① 足して文字を消去する場合
次の連立方程式を解いてみましょう。
x＋y＝8 ……①
x－y＝2 ……②
①と②を辺ごとに足します。
2x＝10
したがって、
x＝5
x＝5を①に代入すると、
5＋y＝8
y＝3
よって、解はx＝5、y＝3です。
② 引いて文字を消去する場合
次の連立方程式を考えます。
x＋y＝9 ……①
x－y＝3 ……②
①から②を辺ごとに引きます。
2y＝6
したがって、
y＝3
y＝3を①に代入すると、
x＋3＝9
x＝6
よって、解はx＝6、y＝3です。
4．係数をそろえて解く方法
そのまま足したり引いたりしても文字が消えない場合は、式を何倍かして係数をそろえます。
例：
2x＋y＝7 ……①
x＋y＝5 ……②
①から②を引くと、
x＝2
x＝2を②に代入すると、
2＋y＝5
y＝3
よって、解はx＝2、y＝3です。
係数をそろえるときのポイント
- 消したい文字を決める。
- その文字の係数が同じ数、または反対の数になるように式を何倍かする。
- 足すか引くかを判断して文字を消去する。
- 残った文字の値をもう一方の式に代入する。
5．よくある間違い
- 符号の間違い：式を引くときは、引く式のすべての項の符号に注意しましょう。
- 片方の式だけで答えを出す：必ず2つの式を同時に満たす値を求めます。
- 代入の間違い：求めた文字の値を代入するとき、符号や計算ミスに注意しましょう。
- 係数をそろえるときのミス：式を何倍かするときは、左辺だけでなく右辺も同じ数をかけます。
6．重要語句
| 用語 | 意味 |
|---|---|
| 連立方程式 | 複数の方程式を組み合わせたもの。 |
| 解 | 方程式を成り立たせる文字の値。 |
| 加減法 | 式を足したり引いたりして文字を消去する方法。 |
| 代入 | 文字の代わりに数や式を入れること。 |
| 消去 | 計算によって文字をなくすこと。 |
| 係数 | 文字にかけられている数。 |
| 方程式 | 文字を含む等式で、文字の値によって成り立つもの。 |
| 等式 | 2つの数量が等しいことを表す式。 |
| 未知数 | まだ値が分かっていない文字。 |
| 両辺 | 等号の左側と右側。 |
7．確認問題10問
学習した内容を使って、次の問題に挑戦してみましょう。
【基本問題】
問1．次の連立方程式の解を求めなさい。
x＋y＝7
x－y＝1
問2．次の連立方程式の解を求めなさい。
x＋y＝12
x－y＝4
問3．次の連立方程式の解を求めなさい。
2x＋y＝11
2x－y＝5
問4．次の連立方程式の解を求めなさい。
x＋2y＝11
x－2y＝3
問5．次の連立方程式の解を求めなさい。
3x＋y＝13
3x－y＝5
【標準問題】
問6．次の連立方程式の解を求めなさい。
2x＋y＝8
x＋y＝5
問7．次の連立方程式の解を求めなさい。
3x＋2y＝12
3x－2y＝4
問8．次の連立方程式の解を求めなさい。
2x＋3y＝13
2x－3y＝1
【応用問題】
問9．次の連立方程式の解を求めなさい。
2x＋y＝7
3x＋y＝10
問10．次の連立方程式の解を求めなさい。
2x＋3y＝13
x＋3y＝8
8．確認問題の答え・解説
問1．
x＋y＝7、x－y＝1を足すと、2x＝8。
x＝4。これを1つ目の式に代入してy＝3。
答え：x＝4、y＝3
問2．
2つの式を足すと、2x＝16。
x＝8。これを1つ目の式に代入してy＝4。
答え：x＝8、y＝4
問3．
2つの式を足すと、4x＝16。
x＝4。これを1つ目の式に代入してy＝3。
答え：x＝4、y＝3
問4．
2つの式を足すと、2x＝14。
x＝7。これを1つ目の式に代入して2y＝4。
答え：x＝7、y＝2
問5．
2つの式を足すと、6x＝18。
x＝3。これを1つ目の式に代入してy＝4。
答え：x＝3、y＝4
問6．
1つ目の式から2つ目の式を引くと、x＝3。
これを2つ目の式に代入してy＝2。
答え：x＝3、y＝2
問7．
2つの式を足すと、6x＝16。
x＝8/3。これを1つ目の式に代入すると、2y＝4。
答え：x＝8/3、y＝2
問8．
2つの式を足すと、4x＝14。
x＝7/2。これを1つ目の式に代入すると、3y＝6。
答え：x＝7/2、y＝2
問9．
2つ目の式から1つ目の式を引くと、x＝3。
これを1つ目の式に代入してy＝1。
答え：x＝3、y＝1
問10．
1つ目の式から2つ目の式を2倍した式を引くのではなく、2つの式を引くとx＝5。
これを2つ目の式に代入すると、3y＝3。
答え：x＝5、y＝1
9．まとめ
今回の単元では、連立方程式の意味と加減法による解き方を学習しました。
- 連立方程式は、複数の方程式を同時に成り立たせるもの。
- 解は、すべての式を成り立たせる文字の値の組。
- 加減法では、式を足したり引いたりして文字を消去する。
- 係数がそろっていない場合は、式を何倍かして調整する。
- 最後に元の式に代入して答えを確認する。
連立方程式は、この先の文章題や数学の応用問題にもつながる大切な単元です。計算の手順を一つずつ確認しながら、確実に解けるように練習しましょう。
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