中2数学「式の計算（2）・文字式の利用」文字式を使って数の性質を説明しよう

対象学年：中学2年生

教科書：東京書籍 中学校数学

学習範囲：p19～31

目次

• 1. 文字式を使った説明とは
• 2. 偶数・奇数を文字式で表す
• 3. 連続する整数の表し方
• 4. 文字式を使って数の性質を説明する
• 5. 図形や数量の関係を文字式で表す
• 6. 説明を書くときのポイント
• 7. 重要語句・公式まとめ
• 8. 例題10問
• 9. 例題の答え・解説
• 10. よくある間違い
• 11. まとめ

1. 文字式を使った説明とは

中学2年生の数学では、文字式を使って数や数量の関係を説明する方法を学習します。

文字式を使うと、特定の数だけでなく、さまざまな数に共通する性質を説明できます。

例えば、2つの偶数を足すと必ず偶数になります。

実際に数字を使って確かめると、

• 2＋4＝6
• 6＋8＝14
• 10＋12＝22

どの場合も答えは偶数です。

これを文字式で説明すると、次のようになります。

このように、文字式を使えば、どんな整数についても成り立つことを説明できます。

2. 偶数・奇数を文字式で表す

偶数や奇数を文字式で表す方法は、文字式の利用で特に重要です。

偶数の表し方

偶数は2の倍数なので、整数をnとすると、

2n

奇数の表し方

奇数は偶数に1を足した数なので、

2n＋1

また、2n－1も奇数を表します。

具体例

• n＝1のとき、2n＝2、2n＋1＝3
• n＝2のとき、2n＝4、2n＋1＝5
• n＝3のとき、2n＝6、2n＋1＝7

ここで、nは整数であることが大切です。

3. 連続する整数の表し方

連続する整数とは、1ずつ順番に並んだ整数のことです。

例えば、3、4、5や、10、11、12などがあります。

連続する2つの整数

最初の整数をnとすると、

n、n＋1

連続する3つの整数

最初の整数をnとすると、

n、n＋1、n＋2

連続する偶数

最初の偶数を2nとすると、

2n、2n＋2、2n＋4

連続する奇数

最初の奇数を2n＋1とすると、

2n＋1、2n＋3、2n＋5

連続する偶数や奇数は、2ずつ増えることを覚えておきましょう。

4. 文字式を使って数の性質を説明する

文字式を利用すると、数の性質がいつでも成り立つことを説明できます。

例1：偶数と奇数の和は奇数になる

偶数を2a、奇数を2b＋1とすると、

2a＋(2b＋1)

＝2a＋2b＋1

＝2(a＋b)＋1

a＋bは整数なので、2(a＋b)＋1は奇数です。

したがって、偶数と奇数の和は奇数になります。

例2：2つの奇数の和は偶数になる

2つの奇数を2a＋1、2b＋1とすると、

(2a＋1)＋(2b＋1)

＝2a＋2b＋2

＝2(a＋b＋1)

a＋b＋1は整数なので、2(a＋b＋1)は偶数です。

したがって、2つの奇数の和は偶数になります。

例3：連続する2つの整数の和は奇数になる

連続する2つの整数をn、n＋1とすると、

n＋(n＋1)＝2n＋1

2n＋1は奇数なので、連続する2つの整数の和は奇数になります。

5. 図形や数量の関係を文字式で表す

文字式は、数の性質だけでなく、図形の周の長さや面積などを説明するときにも利用できます。

例：長方形の周の長さ

縦の長さをa cm、横の長さをb cmとすると、周の長さは、

2a＋2b＝2(a＋b)

となります。

例：正方形の周の長さ

1辺の長さをa cmとすると、

4a

となります。

数量の関係を文字式で表すときは、何を文字で表しているのかを最初に確認しましょう。

6. 説明を書くときのポイント

文字式を使った説明では、答えだけでなく、途中の考え方を正しく書くことが大切です。

説明の基本的な順序

1. 文字を使って、説明したい数を表す。
2. その文字式を使って計算する。
3. 計算結果を整理する。
4. 結果が偶数・奇数などのどの性質に当てはまるか説明する。
5. 最後に結論を書く。

計算だけで終わらせず、なぜその数が偶数や奇数になるのかを文章で説明しましょう。

7. 重要語句・公式まとめ

※nは整数とします。

8. 例題10問

文字式の利用は、式を正しく表す力と、計算結果を説明する力が大切です。次の問題に挑戦してみましょう。

【基本問題】

問題1 偶数を文字nを使って表しなさい。

問題2 奇数を文字nを使って表しなさい。

問題3 連続する3つの整数を、最も小さい整数をnとして表しなさい。

問題4 連続する2つの偶数を、最も小さい偶数を2nとして表しなさい。

問題5 連続する2つの奇数を、最も小さい奇数を2n＋1として表しなさい。

【標準問題】

問題6 2つの偶数2a、2bの和が偶数になることを、文字式を使って説明しなさい。

問題7 偶数と奇数の和が奇数になることを、文字式を使って説明しなさい。

問題8 連続する3つの整数の和が、3の倍数になるとは限らないことを確かめなさい。具体例を1つ挙げなさい。

【応用問題】

問題9 連続する2つの整数の積が偶数になることを、文字式を使って説明しなさい。

問題10 ある整数の2倍に1を加えた数は、必ず奇数になることを説明しなさい。

9. 例題の答え・解説

問題1の答え

2n

偶数は2の倍数なので、2nと表せます。

問題2の答え

2n＋1

偶数に1を加えると奇数になります。

問題3の答え

n、n＋1、n＋2

連続する整数は1ずつ増えます。

問題4の答え

2n、2n＋2

偶数は2ずつ増えます。

問題5の答え

2n＋1、2n＋3

奇数も2ずつ増えます。

問題6の答え

2a＋2b＝2(a＋b)

a＋bは整数なので、2(a＋b)は偶数です。

したがって、2つの偶数の和は偶数になります。

問題7の答え

2a＋(2b＋1)

＝2(a＋b)＋1

a＋bは整数なので、2(a＋b)＋1は奇数です。

したがって、偶数と奇数の和は奇数になります。

問題8の答え

例えば、1、2、3の和は、

1＋2＋3＝6

6は3の倍数です。

この問題は、実は連続する3つの整数の和は必ず3の倍数になります。正しい性質は次のように説明できます。

n＋(n＋1)＋(n＋2)＝3n＋3＝3(n＋1)

n＋1は整数なので、3(n＋1)は3の倍数です。

問題9の答え

連続する2つの整数をn、n＋1とすると、積は、

n(n＋1)

nとn＋1は連続する整数なので、どちらか一方は必ず偶数です。

したがって、その積は必ず偶数になります。

問題10の答え

整数をnとすると、2倍に1を加えた数は、

2n＋1

これは奇数の表し方なので、必ず奇数になります。

10. よくある間違い

• 偶数と奇数の表し方を間違える：偶数は2n、奇数は2n＋1と覚える。
• 連続する偶数を1ずつ増やしてしまう：偶数は2ずつ増えるため、2n、2n＋2となる。
• 文字が整数であることを書き忘れる：偶数・奇数の説明では、文字が整数であることを明確にする。
• 式の変形だけで説明を終える：最後に、計算結果から何がいえるのかを書く。
• かっこの付け忘れ：和や差をまとめるときは、分配法則を正しく使う。

11. まとめ

今回の単元では、文字式を使って数の性質や数量の関係を説明する方法を学習しました。

特に、偶数を2n、奇数を2n＋1と表す方法や、連続する整数を文字式で表す方法は重要です。

また、文字式を使った説明では、式を作るだけでなく、計算結果がなぜ偶数や奇数になるのかを文章で説明することが大切です。

文字式の利用は、答えを求めるだけでなく、数学的な考え方を説明する力を身につける単元です。基本の表し方を覚え、少しずつ説明問題にも挑戦していきましょう。

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