中学1年生・数学｜整数の性質
中1数学「整数の性質」重要ポイント・例題10問｜定期テスト対策
東京書籍「新編 新しい数学1」p.14～18の「整数の性質」を、定期テスト対策としてまとめます。
教科書：東京書籍「新編 新しい数学1」
ページ：p.14～18
単元：0章「算数から数学へ」1節「整数の性質」
■ 学習のポイント
- 整数の中には、素数や合成数などの性質をもつ数がある。
- 素数を使って整数を表す素因数分解を理解する。
- 素因数分解を利用して、倍数や約数について考える。
- 素数を見つける方法としてエラトステネスのふるいを理解する。
- 計算だけでなく、数の性質をもとに理由を説明できるようにする。
■ 目次
- 素数とは
- 素因数分解
- 素因数分解のしかた
- 倍数と約数
- 素因数分解と約数
- エラトステネスのふるい
- 例題10問
- 例題の答え
- よくある間違い
- まとめ
1．素数とは
素数とは、1より大きい整数で、1とその数自身の2つだけを約数にもつ数です。
例えば、2、3、5、7、11、13などが素数です。
・1は素数ではない。
・2は最も小さい素数。
・2は唯一の偶数の素数。
一方、1とその数自身以外にも約数をもつ整数を合成数といいます。
例えば、12は1、2、3、4、6、12を約数にもつので、合成数です。
2．素因数分解
整数を、素数だけの積として表すことを素因数分解といいます。
例えば、
12＝2×2×3＝2²×3
となります。
素因数分解では、最後に残る数がすべて素数になっていることを確認しましょう。
3．素因数分解のしかた
素因数分解するときは、最初に2、3、5、7などの小さい素数で割れるかを考えると分かりやすくなります。
例えば、60を素因数分解すると、
60＝2×30
＝2×2×15
＝2×2×3×5
＝2²×3×5
となります。
素因数分解した結果をもう一度かけ算すると、もとの数になるか確認しましょう。
4．倍数と約数
ある整数を整数倍してできる数を、その数の倍数といいます。
例えば、6の倍数は、
6、12、18、24、30、……
です。
また、ある整数を割り切ることができる整数を、その数の約数といいます。
例えば、12の約数は、
1、2、3、4、6、12
です。
12＝3×4 のとき、3と4は12の約数であり、12は3と4の倍数です。
5．素因数分解と約数
素因数分解を使うと、約数について効率よく考えることができます。
例えば、
60＝2²×3×5
と素因数分解できます。
このように、整数を素数の積に分けて考えることで、その数がどのような素数からできているのかが分かります。
「約数を求めなさい」という問題でも、素因数分解を利用して考えることができます。
6．エラトステネスのふるい
エラトステネスのふるいは、素数を見つける方法の一つです。
数の表から、2の倍数、3の倍数、5の倍数……というように素数の倍数を消していくことで、素数を見つけることができます。
① 2を残し、2の倍数を消す
② 次に残った3を残し、3の倍数を消す
③ 次に残った5を残し、5の倍数を消す
④ 同じように続ける
⑤ 最後まで残った数が素数
東京書籍ではp.18の「数学のまど」で、数表を使って素数を見つける方法としてエラトステネスのふるいを扱っています。
7．例題10問
次の数のうち、素数をすべて選びなさい。
2、4、7、9、11、15
1が素数ではない理由を答えなさい。
24を素因数分解しなさい。
45を素因数分解しなさい。
72を素因数分解しなさい。
18の約数をすべて答えなさい。
8の倍数を、小さい方から5つ答えなさい。
「24は6の倍数である」とき、6と24の関係を「約数」という言葉を使って説明しなさい。
60を素因数分解しなさい。
エラトステネスのふるいでは、なぜ2の倍数を消してよいのか説明しなさい。
8．例題の答え
2、7、11
1の約数が1つしかないから。
24＝2×12＝2×2×6＝2×2×2×3
答え：2³×3
45＝3×15＝3×3×5
答え：3²×5
72＝2×36＝2×2×18＝2×2×2×9
答え：2³×3²
1、2、3、6、9、18
8、16、24、32、40
6は24の約数である。
60＝2×30＝2×2×15＝2×2×3×5
答え：2²×3×5
2の倍数は、2より大きい数であれば2を約数にもつため、素数ではないから。
9．よくある間違い
-
1を素数にしてしまう
素数は「1より大きく、約数が2つ」の数です。1は素数ではありません。 -
素因数分解の途中で止めてしまう
「2×12」のように、まだ12が素数ではない場合は、さらに分解します。 -
素因数分解で素数以外を残してしまう
最後はすべて素数になっているか確認しましょう。 -
倍数と約数を逆にする
「24は6の倍数」「6は24の約数」という関係です。 -
2を素数ではないと思ってしまう
2の約数は1と2の2つなので、2は素数です。 -
エラトステネスのふるいで、素数そのものまで消してしまう
2や3など、素数そのものは残し、その倍数を消していきます。
10．まとめ
- 素数：1より大きく、約数が1とその数自身の2つだけ。
- 合成数：素数ではない1より大きい整数。
- 素因数分解：整数を素数の積で表す。
- 倍数：ある整数に整数をかけてできる数。
- 約数：ある整数を割り切ることができる数。
- 素因数分解を利用すると、整数の性質を考えやすくなる。
- エラトステネスのふるいでは、素数の倍数を消して素数を見つける。
- 1は素数ではない。
- 2は唯一の偶数の素数。
「整数の性質」は、中学校の数学でこれから学ぶ数の考え方につながる大切な単元です。 まずは素数・素因数分解・倍数・約数の意味を正しく理解し、それぞれを区別できるようにしておきましょう。
更新日：2026年9月9日
対象：中学1年生／東京書籍「新編 新しい数学1」p.14～18
